第46章 解题

许凝月继续思索。 ——“这个概率的计算过程……” ——“先把箱子按编号排成一行。假设这100个箱子的回路正好有100步，比如从1到2到3再到100，这其实和从2到3到4再到100再回到1是同一个路径，所以100个箱子其实有100种排列方式。其中一种就是所有的。” ——“因此回路的步数是100时，它的随机概率就是1/100。那么步数超过50的回路，比如51步，它的概率就是1/51。” ——“判定50步以上的为失败的话，那么从1/51加到1/100的概率，即为失败概率，而这个结果就是69%，所以成功的概率是31.18%。” ——“在这种循环里，100个囚犯利用路径找到自己编号的概率（31.18%），要比两个囚犯随机寻找成功的概率（25%）还要高。” ——“比如一个囚犯进入房间，随机打开箱子找到编号的概率仍然是50%，但这看的不是单独一个囚犯找到的概率。如果一起来看，随机概率中，运气好的一般会在50次内找到，而运气差的那一半则要在50次以外才能找到自己的编号。” ——“但如果他们按照循环回路来寻找，那么每个囚犯找到的概率都是31.18%。也就是说，其中69个囚犯会在50次内找到自己的编号。这个区别就在于，集体的优势是否凌驾于个人优势之上。” 念至此，许凝月抬头，看向极为遥远的虚空，淡淡道：“01219.” “编号：01219” “级别：1级” “问题：有编号1到100的100个囚犯在房间中，监狱长在圣诞节这天给他们玩了一个游戏。把编号1到100的纸条放到箱子里，然后随机在箱子外写上1到100的编号，把这100个箱子放在一个封闭的房间里。” “每次只允许一名囚犯进去，他可以任意查看50个箱子里的纸条编号然后离开。这期间囚犯不能互相交谈或递暗号。不过这些囚犯可以在游戏进行之前互相讨论商量对策。” “如果100个囚犯都找到了属于自己的编号，他们全部都会被释放。但如果其中有一个人没找到，那么所有囚犯都不能出去。” “（1）对他们来说，最好的策略是什么？最大成功概率是多少（精确到小数点后2位）？” “回答时间：10秒” 10秒倒计时出现，许凝月说出循环回路的策略，以及最大成功概率31.18%。 “回答正确！” “（2）如果监狱长发现囚犯在游戏前的讨论中学会了用回路寻找编号，他故意将所有编号回路都设置了50步以上，此时对囚犯来说，最好的策略是什么？最大成功概率是多少（精确到小数点后2位）？” “思考时间：10秒” “回答时间：10秒” 第二问？ 许凝月双眸微眯。果然，1级问题不可能这么简单。当他看到一开始的“（1）”时，就已经猜到可能会有第二问了。 10秒的思考倒计时出现。 ——“首先，囚犯可以随机打开箱子。但是这样的成功概率太小，不可能是最佳策略。” ——“不过……囚犯可以把每个箱子的编号加5，超过100的就取个位数，比如97加5等于102，即把这个箱子的编号视为2.” ——“其实无论怎么变，不同号码依然在这个循环内。所以问题又回到了循环的随机排列上。也就是说，囚犯还是有31.18%的成功概率。” 想通之后，许凝月立刻回答了第二问。 “回答正确！” “（3）当囚犯的数量为1000个、100万个、10亿个、∞个时，每个囚犯可以打开总数一半的箱子，最大成功概率是否会逐渐趋近于0？若不会，最大成功概率依次是多少（依次精确到小数点后2位、5位、5位、3位）？” “思考时间：20秒” “回答时间：10秒” 许凝月看到第三问之后，浑身静止了一瞬间。 这是在考他的心算能力吗？ ——“最大成功概率肯定不会逐渐趋近于0，全部套公式就好了……” ——“1000个，1-(1/501+1/502+1/503+…+1/1，000)=30.74%。这只比100个囚犯的成功概率低了不到0.5%。” ——“100万个，1-(1/500，001+1/500，002+1/500，003+…+1/1，000，000)=30.68533%。也只比之前低一点点。” ——“10亿个，1-(1/500，000，001+1/500，000，002+1/500，000，003+…+1/1，000，000，000)=30.68528%。” ——“如果囚犯的数量无穷大，最高成功概率……之前一直使用的公式是1-P(failure)，拿100个囚犯举例，也就是找到编号需要50次以上的概率。” ——“把这个在矩阵里用柱状图表示，就会形成一条曲线，设这条曲线的值为1/x，则该曲线下的面积约等于从51到100的所有柱状体面积之和。” ——“就算囚犯的数量不断增多，这条曲线的弧度也不会改变。所以要找到这个失败概率，就只需取1/x的从n到2n的积分，因此得出2的自然对数（ln2）。” ——“所以，成功概率：1-ln2=0.30685=30.685%。” ——“无论囚犯的数量有多少，他们最终总有超过30%的概率可以成功。” ——“循环回路的魅力在于，它把所有人的结果联系在一起，而不是在乎单独一个人的成功或失败。遵循这个规律，他们就会被牢牢套在这个路径之中，每个人都有相同的概率找到自己的编号。” ——“所以……不成功便成仁罢。” 许凝月开口回答。 “回答正确！” 许凝月的速度已经非常非常快了，回答完一整个问题三个小问，他总共也只用了42秒，连一分钟都不到。1级问题一回答完，许凝月立刻加了1000分，瞬间从最后一名跳到了高居榜首。 “游戏倒计时：00:01:43.” “许凝月：1000分” “洛星芒：300分” “祝瑶光：200分” “云思遥：110分” “江晚渔：100分” 许凝月的嘴角微微勾起，身上的红色风衣在虚空的光线下越发深邃，仿佛是鲜血浸染的猩红，无风自动，露出里面穿着的黑色衬衫。 他嘴唇翕动：“00734.” “编号：00734” “级别：2级” “问题：你为了探听情报，秘密潜入一艘潜水艇，发现潜艇指挥官要对大陆发射核弹。你本想偷偷破解他们的安全锁，但是密码有两个，但凡输错一次，系统就会上锁。” “潜艇指挥官不信任任何人，他把两个密码分别告诉了自己的两个手下A、B，并禁止他们互通消息。” “你听到指挥官对两个手下说：“为了好记，我给你们的密码是相关的。我选了两个以上小于7的不同正整数，并用它们的和给了A当做密码，再用它们的积给了B”。” “A问B：“我不确定你是否猜到我的密码了。”” “B想了想，回答：“我已猜到你的密码。不过现在你应该也猜到我的了。”” “请说明两个密码是否为唯一解，并猜出所有可能的两个密码，防止核弹发射。” “回答时间：3秒” 3秒倒计时立刻出现。 许凝月也没有浪费时间：“是唯一解，A为5，B为4.” “回答正确！” “游戏倒计时：00:01:37.” “许凝月：1100分” “洛星芒：300分” “祝瑶光：200分” “云思遥：110分” “江晚渔：110分” …… 十秒前。 正在思考、回答1级问题的许凝月注意到了这个2级问题，同时开始思考。 ——“认知偏差……那就在两个手下的角度思考，通过他们描述的底层逻辑来缩小范围。” ——“A一开始说“我不确定你是否猜到我的密码了”，因此B手上可能有解开A密码的线索。” ——“B能推出A的密码，说明B的密码是1*a，且只有这一种分解方法。因此，要么a是质数，自己不能再分解；要么a是质数的平方，比如4，因为这几个数都不同。” ——“8既可以分成2*4，也可以分成1*2*4，这样就有多种可能性。” ——“也可以按照另一种方式推演。数字都小于7，那就是1乘1到6的任意组合。排除1*1，两个数字不能相同；排除1*6，因为6还能分成2*3。” ——“如果B的密码是唯一解，那么它的组合就只剩下1乘2到5了。” ——“从这些可能性反推，A的密码就是3、4、5、6。排除3和4，因为它们的积是2和3。如果是这两个数，A一看就会知道B的密码，这与A之前的语气矛盾。而5和6都有不确定性，所以它们都有可能。” ——“B的分解数字不一定等于A的分解数字。这两个数字都是从A的角度考虑的，因为不确定性，才使B推出A的密码。” ——“考虑一个积，就将它分解，把两个因数相加得到和，再把和分解成不同排列组合的因子，最后用因子相乘，验证之前的推测。” ——“比如将4分成1和4；1+4=5；5=1+4，5=2+3；1*4=4，2*3=6。” ——“之前我做的就是分解和，再把加数相乘，然后分解因数，再相加，用和来验证。” ——“现在知道A的密码可能是5或6，这也是B了解的信息，但B还知道自己的密码，也就是积。” ——“B一开始说的那句话，“我已猜到你的密码”，如果A的密码是5，那么就有两种可能性。要么是1+4，要么是2+3，B的密码不是4就是6。” ——“如果是4的话，那么就只有一种解法，即1*4。但如果是6，就有三种解法，即2*3、1*2*3和1*6，导致它们的和也有三种，即2+3=5、1+2+3=6和1+6=7。” ——“7可以排除了，因为这样会导致B的密码因子出现7，而这跟指挥官说的不符。但如果是5或6，B就不会一听A说就知道密码，所以这就一次排除了若干种可能性。” ——“只剩下一个答案，A的密码是5，B的密码是4。但……这是唯一解吗？” ——“假设A的密码是6，它就有三种可能性组成，即1+5、2+4和1+2+3，对应B的密码就是1*5=5、2*4=8和1*2*3=6。” ——“如果B的密码是5的话，5=1*5，他就会知道A的密码是1+5=6。” ——“如果B的密码是8的话，8=2*4，8=1*2*4，那么A的密码就是6或7，但如果是7的话，A不会不确定，所以只有6有可能是A的密码。” ——“但这样的话，B又不会确定A的密码了。因为6可能衍生出B的密码是5或8，5的话跟A的对不上，8的话又有两种可能性，B不可能通过8就猜到A的密码，这也跟B的第二句话“不过现在你应该也猜到我的了”矛盾。” ——“8也不可能通过反证，来让A立刻猜到B的密码。”