629章 椭圆曲线的秩

在数学领域，沈奇的名字无处不在。 沈奇在《数论史》中对BSD猜想进行了阐述，BSD猜想与其他不少数论问题有着千丝万缕的联系，研究BSD猜想，实际上也是对近代数论史的温习。 在近代数论的发展历史上，1995年是一个关键节点。 这一年，怀尔斯通过确立椭圆曲线与模型理论之间的一种联系，从而证明了费马大定理。 这一年对于BSD猜想也有重大影响，在此之前，数学家们无法百分百肯定BSD猜想是否有意义。 怀尔斯在证明费马大定理的过程中，顺手证明了谷山-志村猜想，他在证明这两个猜想的同时，也使得BSD猜想的数学意义被数学界所肯定。 那么BSD的数学意义是什么呢？ 证明了这个猜想，又会起到什么作用？ 包括沈奇在内，数学界一致认为如果BSD猜想被证明，那么沙群有限理论也随之被证明，而沙群是理解数学对象的算术性质的核心之一。 换言之，BSD猜想若被证明，则“代数数域上的信息在什么程度上可由所有局部域上的信息粘合过来”将得到确切的答案，这已上升到了哲学高度，这种哲学被称为“局部整体原则”。 证明一个数学问题，完善一套哲学体系。 这就是BSD猜想的核心意义。 数学、哲学都是高冷的科目，数学+哲学的CP高冷到没朋友。 呕心沥血、潜心研究BSD猜想的学者非常少，他们是孤独的烟花，绽放在万尺高空。 截止目前，最接近真相的BSD猜想证明方案来自龚长伟、斯金纳，以及巴尔加瓦、山卡尔。 这四位数学家耗费十几年所作的研究成果转化为论文，一共是惊人的6098页，可以塞满一辆汽车的后备箱。 龚长伟、斯金纳、巴尔加瓦、山卡尔四位数学家证明了一个结论：至少有三分之二的椭圆曲线满足BSD猜想。 这四位数学家在BSD猜想上取得的成绩，相当于陈景润证明了哥德巴赫猜想1+2。 这四位数学家里的龚长伟是中国人，他正是欧叶在哥伦比亚大学读研时的导师。 赵天看着白板上的数学式子，问到：“我有个疑问，沈教授在《数论史》里对BSD猜想的前世今生剖析的这么透彻，他为啥不证明BSD猜想？” 能回答这个问题的人只有欧叶，她说到：“因为沈教授水平有限。” “哈哈哈！” “略略略。” “……” 听闻叶子姐的回答后，三个学生表情各异。 敢说沈教授水平有限的人，全世界怕是只有叶子姐一人吧。 全世界只许我哔哔你，其他人没有资格。 这也是种另类的秀恩爱呢。 既然沈教授水平有限，那么BSD猜想就交给水平无限的团队来做吧。 欧叶擅长的是解析数论，解析数论是数论里最硬的一个分支。 如果把代数数论比喻为软科幻，解析数论就相当于克拉克写的硬科幻。 欧叶大概就是数论学家里的克拉克。 沈奇原本也很克拉克，他使用纯粹的解析数论方法证明了黎曼猜想，可谓无敌硬。 黎曼猜想搞定之后，沈奇在学术行为上发生了一些变化，他变的没那么硬了，他在处理一些学术问题时更偏向软硬结合的方式，这也是未来数学发展的主流趋势，学科交叉越来越频繁、紧密。 沈奇学术思想的微妙变化或多或少影响到了欧叶，毕竟两人睡一张床上。 欧叶意识到，纯粹的数论方法是搞不定BSD猜想的，换曾经无敌硬的沈奇来，他也搞不定。 于是在BSD猜想这个问题上，欧叶选择数论+椭圆曲线+……相结合的方式，随大流了。 如果采用软硬结合的主流研究手段，那么水平有限的沈教授对于BSD猜想还是做了点儿间接性贡献的。 在BSD猜想这个问题上，r越大，数学家们希望看到的有理点就越多，r是曲线的秩，是这个问题里很重要的一个参数。 虽然全世界的数学家们近年来在椭圆曲线理论的研究上取得了显著的进展，但秩仍是个迷。 甚至于秩该如何计算，或者秩是不是可以无穷大这种基本问题都没解决。 沈奇在《数论史》里写到：“……为了便于你更好的理解本章所阐述的BSD猜想，建议你阅读本人所著的另一本书《黎曼猜想证明的前前后后》。” 沈奇这么写的主要目的，是为了让《黎曼猜想证明的前前后后》的销量多一点。 当然了，读者们如果理解了黎曼猜想，对于BSD猜想的解读也会有一定帮助。 读者们只需了解一点点黎曼zeta函数的知识，就能知道椭圆曲线里的Hasse-eil函数这种形式其实就是欧拉乘积。 沈奇对于BSD猜想真正的贡献，来自于一篇他未曾发表的论文稿。 在这份论文稿里，沈奇随手画了一张图。 他原本是想画一条比目鱼，然后看图说话给诺菲讲故事。 结果画着画着，沈奇把鱼画成了坐标系和曲线。 这条奇丑无比的“鱼”，欧叶是看过的。沈奇试图用群论的思路，去解释椭圆曲线里的秩。 但沈奇也没彻底解释清楚椭圆曲线里秩的规律以及计算原则，他画完“鱼”之后就没有下文了。 反倒是欧叶深受启发，她从这条“鱼”里悟出了一种新的思路。 欧叶在白板上写到： E（Q）≡Z^rE（Q）f E（Q）={（-d，0），（0，0），（d，0）…… 这里的E（Q）实际上是一个交换群，即阿贝尔群。Z是在加法下的无穷整数集。 BSD猜想的定义不难理解，难的是证明推导过程。 BSD猜想的证明推导是非常复杂繁琐的一件事情，需要许多储备知识。 数论、群论、椭圆曲线、黎曼zeta函数、欧拉乘积、哈塞-韦伊函数乃至二次数域的高斯猜想……所需的知识量太多了。 好在赵天、小云、曾寒三人是学生里的精英，他们仨的知识储备量还算OK。 科学研究表明，学渣花在学习上的时间远多于学霸。 赵天、小云、曾寒三位学霸花在学习上的时间反而多于学渣，他们是超级勤奋的学霸，所以他们有资格在这里跟着叶子姐一起攻克BSD猜想。 聪慧的小云很快理解了欧叶的战略意图：“所以说，我们要以群论为突破口？”